Números Naturais (2)

Pra quem está acompanhando a série sobre os números, este é o segundo post a respeito dos números naturais... A idéia original era colocar tudo num post só, mas a multiplicação e a exponenciação ficaram pra esse post. Então vamos à multiplicação:

Vamos definir, também recursivamente, a multiplicação M, a partir da adição e da função sucessor:

1. M(m, 1) = m
2. M(m, S(n)) = A(M(m,n) ; m) = M(m,n) + m
3. M(m,n) = M(n,m)
   

Traduzindo para uma linguagem mais simples onde M(m,n) = m . n, ficamos com:

1. m . 1 = m
2. m . (n+1) = m . n + m
3. m . n = n . m

A técnica de desenrolar utilizada na recursão da soma pode ser aplicada aqui da mesma forma. Também é fácil ver uma forma semelhante de montarmos a operação de exponenciação E(m,n) ou usando a notação com superscrito mⁿ, mas sem a propriedade comutativa:

1. E(m, 1) = m, ou m¹ = m
   
2. E(m, S(n)) = M(E(m, n), m), ou mⁿ⁺¹ = mⁿ . m
   

A resolução de uma exponenciação pelo desenrolamento também funciona aqui. Note que, como todas as operações aqui foram construídas recursivamente, não há uma forma de definir completamente as operações inversas das operações acima. Por isso que não dá para definir a subtração como "o contrário da adição" ou a divisão como o "contrário da multiplicação". Nem pensar então nos logaritmos ou na radiciação! Para isso precisaremos de outros conjuntos, os inteiros, os racionais e os reais.

Mas dá para fazer umas considerações finais em cima de alguns subconjuntos dos naturais. Temos primeiramente o conjunto dos múltiplos de um número. O conjunto dos múltiplos de k é o conjunto

O conjunto de múltiplos de 2 é o conjunto dos pares e o conjunto dos ímpares é o conjunto dos naturais que não fazem parte do conjunto de múltiplos de 2. Podemos também definir o conjunto dos divisores de k como:

É do conjunto de divisores que surge o conceito de números primos. Números primos são os números cujo conjunto de divisores possui dois divisores distintos. Por isso, o número 1 não é primo!

Como nossas definições no universo dos números naturais foi totalmente recursiva, o nosso instrumental é limitado. Por exemplo, não podemos definir de forma trivial inversa para as nossas funções. Além disso, precisamos sempre desenrolar todas as operações até o passo inicial para resolver os nossos problemas. Por outro lado, a recursão nos permite provar teoremas por indução finita, uma das formas mais simples de fazê-lo. Mas precisamos sair da camisa de força da recursão e iremos fazer isso através da definição dos números inteiros e da subtração. É interessante que essa expansão vai utilizar os números inteiros, não iremos utilizar nenhum axioma. Mas eu já estou me adiantando. Aguardem o conjunto dos números inteiros!