Este post faz parte da série sobre números... Recomendo começar por esse post. O post anterior foi sobre os números naturais.
Nós temos uma boa noção intuitiva do que são os números inteiros, definidos pelo conjunto  (conjuntos dos "zinteiros", como gostava de falar um professor bobo meu). É a união dos conjuntos dos naturais com os negativos dos os naturais e o zero. Mas o que é o negativo de um número? Eu poderia dizer que é o dígito com um traço na frente, mas lembrem-se que o traço é apenas uma representação do número; abstratamente ele não tem significado nenhum.
A subtração, todos sabemos, é o inverso da adição. Então vamos tentar definir a operação de subtração  como a inversa da adição  , a partir da definição recursiva de antes. Já aí surge o primeiro problema:  nos leva a quatro inversas: (i)  , (ii)  , (iii)  e (iv)  . As formas (i) e (iii) parecem com algo próximo da nossa subtração, mas percebam que a simples inversão do conceito no nosso mundo primitivo não é o suficiente. Afinal as formas (ii) e (iv) são, estritamente, inversões da adição, apesar de não parecerem com o que queremos. Intuitivamente, (ii) e (iv) deveriam gerar números negativos, mas eles não aparecem. O problema é que a definição da adição (e de todas as operações naturais) foi feitas a partir de uma recursão. Batemos na parede por causa disso. Para resolver este nosso pequeno problema, vamos partir para uma viagem pela teoria dos conjuntos que nos libertará da prisão recursiva que é o conjunto de números naturais. Neste processo, vamos precisar do conceito de produto cartesiano  entre dois conjuntos  e  definido como sendo o conjunto de todos os pares ordenados do tipo  onde  a  . Se o conjunto  e o conjunto  ,  . Notem que os pares ordenados são elementos do conjunto, e não conjuntos. Além disso, é importante notar que o elemento (a,b) é diferente do elemento (b,a) - daí o termo par ordenado. Mais interessante para nós é o conjunto do produto cartesiano entre dois conjunto de números naturais  .
Qualquer par de dois números naturais faz parte do conjunto  . Só para reforçar conceitos, observe que o par  é diferente do par  . Então vamos pegar o par  sendo  e  dois números naturais qualquer. Vamos definir um subconjunto de  ,  .
Vamos chamar esse conjunto de uma classe de equivalência, o que significa apenas que todos os elementos de um conjunto são equivalentes. Por exemplo, temos a classe de equivalência  e dizemos que os elementos  e  são equivalentes. Destas classes, vamos nos importar com apenas 3 tipos de classes de equivalência: 1. As classes do tipo  , onde  . 2. As classes do tipo  , onde  . 3. A classe de equivalência  . É possível provar que esses três grupos formam uma partição do conjunto  , i.e., todo elemento de  pertence a uma dessas classes e somente a uma delas. Todos os pares  onde  fazem parte da classe 3. Seja um par  onde  , podemos escrever que existe um número natural m tal que  e o par passa a ser escrito como  . Dá pra ver que este par pertence à classe de equivalência  por indução finita em b e que portanto pertence ao grupo 1. Analogamente, é possível para mostrar que  pertence a alguma classe do grupo 2 quando  . Agora vem a parte mais conceitualmente interessante. Vamos estabelecer uma ligação um-pra-um, um isomorfismo, entre uma classe de equivalência do tipo 1 e um número natural. A partir de agora o número  e a classe  são exatamente a mesma coisa. É uma espécie de renomeação dos números naturais. O número  poderá tambem ser chamado de , ou de  , as três formas são completamente iguais, significam a mesma coisa. Para isso funcionar direito, precisamos definir uma soma nessa nova nomenclatura como sendo  . Pensem um pouco nessa definição e vocês verificarão que essa soma satisfaz as condições exigidas da soma até aqui. O mesmo é verdade pra multiplicação. É agora a hora de expandirmos os conceitos. Agora vamos usar a classe de equivalência  numa soma como foi definido acima.  ! Temos um elemento neutro na adição! A classe  se comporta exatamente como o número  . Vamos ir um pouco mais longe e incluir as classes do tipo 2 na soma. Verifiquemos or curiosidade, o que acontece quando somamos  ! Voilá. Temos um número negativo. Se a classe de equivalência  representar o número  , então a classe de equivalência representa o número  representa o negativo de  . "Menos  ". Pronto. Aquela partição do conjunto  nos 3 tipos de classes de equivalência acabou de gerar o conjunto dos números inteiros: o tipo 1 define os números naturais (positivos), o tipo 2 define os números negativos e a classe no tipo 3 é o número zero. Os mais perspicazes também devem ter notado que a classe  também pode ser vista como uma função de subtração  , afinal a classe  representa o número  . A subtração e os números inteiros estão fortemente interligados como começamos dizendo no nosso texto! | 
